Moc procentu składanego

Moc procentu składanego
Moc procentu składanego

Po opublikowaniu wpisu na temat RRSO stwierdziłem, że powinienem jak najszybciej opisać na czym polega moc procentu składanego. To jeden z fundamentalnych aspektów finansów osobistych, z którego na co dzień nie zdajemy sobie sprawy. Jego przełożenie na oszczędzanie i budowanie potencjału finansowego oszczędności w małych krokach jest niedoceniane, zatem czas przyjrzeć się bliżej temu zagadnieniu.

Kapitalizacja odsetek – fundament procentu składanego

Zanim przejdę do zdefiniowania tego kluczowego dla procentu składanego pojęcia, pokażę ci kilka prostych przykładów, których zrozumienie będzie fundamentem dalszych rozważań.

Przykład 1

Wyobraź sobie, że posiadasz 100 zł, które chcesz ulokować na okres 1 roku. Bank proponuje ci lokatę oprocentowaną na 5% w skali roku, z wypłatą odsetek na koniec lokaty. Jaką kwotę otrzymasz po roku?

Z pewnością słusznie, intuicyjnie odpowiesz, że będzie to 100 zł powiększone o odsetki 100 zł x 5% = 5 zł. Zatem bank powinien zwrócić ci 105 zł.

W tym przykładzie mówimy o rocznej kapitalizacji odsetek, są one wyliczane i wypłacane raz w roku, na koniec danego roku.

Przykład 2

Warunki początkowe jak w Przykładzie 1, a więc kwota 100 zł do ulokowania na lokacie oprocentowanej na 5% w skali roku, z roczną kapitalizacją (a więc naliczeniem) odsetek. Ale tym razem weźmy pod uwagę lokatę dwuletnią. Jaką kwotę bank wypłaci po 2 latach?

Jeżeli pośpieszysz się i intuicyjnie odpowiesz, że będzie to 110 zł, niestety będziesz w błędzie.

Obliczmy to razem:

Po pierwszym roku kwota 100 zł urośnie do 105 zł (jak w Przykładzie 1). Ta właśnie kwota zostanie ulokowana na kolejny rok, zatem odsetki za drugi rok na lokacie będą wynosiły 105 zł x 5%. Bank policzy odsetki od kwoty początkowej powiększonej o odsetki za pierwszy rok oszczędzania.

Odsetki za drugi rok wyniosą zatem 105 zł x 5% = 5,25 zł.

Podsumowując – pierwszy rok oszczędzania przyniesie 5 zł odsetek, a drugi 5,25 zł odsetek. Zatem na koniec trwania lokaty bank wypłaci 100 + 5 + 5,25 = 110,25 zł

Można to policzyć szybciej korzystając ze wzoru:

100 x (1+5%) x (1+5%) = 100 x 1,05 x 1,05 = 105 x 1,05 = 110,25 zł

Lub jeszcze krócej:

100 x (1+5%)2 = 110,25 zł

Teraz, gdy rozumiesz już, jak działa kapitalizacja w okresach rocznych i jaki ma wpływ na wielkość zgromadzonych odsetek, zobaczymy przykłady innych okresów kapitalizacji.

Przykład 3

Bank oferuje dwuletnią lokatę oprocentowaną na 5% w skali roku z kapitalizacją kwartalną. Jaką kwotę uzyskasz z lokaty, inwestując w nią 100 zł?

Jeżeli pamiętasz, jak liczyliśmy wynik w Przykładzie 2 to zdajesz już sobie sprawę, że należy policzyć kwotę reinwestowaną z kwartału na kwartał, aby odpowiednio naliczać odsetki.

A zatem po kolei. Ile będzie odsetek po pierwszym kwartale na lokacie (kwota ta zostanie zainwestowana na drugi kwartał).

100 x 5%/4 = 1,25.

Bank zaproponował oprocentowanie na poziomie 5% w skali roku, zatem aby uzyskać odsetki po jednym kwartale musisz roczną stopę procentową podzielić na 4, aby uzyskać stopę kwartalną.

Zatem kwota zainwestowana na 2 kwartał będzie wynosiła:

100 x (1+5%/4) = 101,25 zł

Ile zatem odsetek naliczy bank w kwartale drugim:

101,25 x 5%/4 = 1,26 zł

Zatem kwota zainwestowana na kwartał 3 będzie wynosiła już:

100 + 1,25 + 1,26 = 102,51 zł

I tak dalej.

Aby uprościć i przyśpieszyć obliczenia możesz skorzystać ze wzoru, który pokazałem w Przykładzie 2, z tą modyfikacją, że zamiast stopy rocznej wstawisz stopę kwartalną (czyli roczną podzieloną przez cztery) a wykładnikiem potęgi będzie ilość kwartałów – w tym przypadku mówimy o okresie dwuletnim, a więc ilość kwartałów wyniesie 8. Wyglądałoby to następująco:

100 x (1 + 5%/4)8 = 100 x 1,1045 = 110,45 zł

Dla przypomnienia dwuletnia lokata z tym samym oprocentowaniem, ale kapitalizacją roczną dawała nieco mniejsze oprocentowanie – w wyniku kalkulacji Przykładu 2 okazało się, że jest to 110,25 zł.

Zatem wiesz już, że kapitalizacja, czyli wypłacanie i reinwestowanie odsetek, jest korzystna.

Porównanie opłacalności lokat

Posiadając wiedzę na temat kapitalizacji i jej wpływu na wynik inwestycji w lokatę będziesz już w stanie porównywać między sobą lokaty oparte na różnych okresach kapitalizacji i różnych rocznych stopach oprocentowania.

W przypadku lokat banki nie są zobowiązane wyliczać RRSO, jak w przypadku kredytów konsumenckich zatem musisz umieć wyliczyć samodzielnie, która z lokat jest najbardziej opłacalna.

Jeszcze kilka lat temu bardzo popularnym produktem lokacyjnym były lokaty o kapitalizacji dziennej. Służyły przede wszystkim uniknięciu tzw. podatku Belki od zysku na lokatach (19%). Jeżeli podatek od dziennych odsetek nie przekraczał 50 gr to był zaokrąglany do zera, co powodowało, że oprocentowanie lokat standardowych i dziennych nie dawało się wprost porównać, ze względu na opodatkowanie tych pierwszych i efektywne zwolnienie od podatku tych drugich. W roku 2012 przepisy podatkowe zostały w tym zakresie uszczelnione i obecnie banki nie oferują już takich lokat.

Natomiast nie jest tak, że oferty są porównywalne. Znajdziesz zarówno lokaty o okresie kapitalizacji dłuższym niż rok, jak i takie gdzie kapitalizacja jest częstsza niż raz w roku. Dlatego zanim zdecydujesz się wybrać konkretną lokatę, upewnij się, czy lokaty wzięte do porównania mają takie same okresy kapitalizacji.

Dla przykładu spójrz na opis polskich obligacji skarbowych:

  • Dla obligacji dwuletnich w kategorii “Oprocentowanie” znajdziesz adnotację o rocznej kapitalizacji odsetek.
  • W innym przypadku, obligacji 3-letnich o,dsetki są naliczane i wypłacane co pół roku (czyli nie są kapitalizowane a wypłacane, musisz reinwestować je samodzielnie).
  • Z kolei dla obligacji 4-letnich, odsetki są wypłacane (a więc znów nie kapitalizowane) co rok.

Podatek Belki

Dodatkowo, musisz mieć świadomość, że odsetki od twoich lokat zostaną automatycznie, przez bank, obciążone tzw. podatkiem Belki. Musisz zapłacić 19% od kwoty uzyskanych odsetek (dzieje się to bez twojej wiedzy i udziału). Podawane przez bank oprocentowanie jest zawsze nominalne (czyli przed podatkiem).

Przy okazji wspomnę, że w roku 2018 pojawiły się dyskusje o zniesieniu opodatkowania tą daniną lokat (i obligacji skarbowych) o okresach dłuższych niż 12 miesięcy, jednak na ten moment temat nie znalazł swojej kontynuacji.

Jak obliczyć efektywne oprocentowanie lokaty z uwzględnieniem podatku?

Aby otrzymać prawidłowy wynik obliczeń, należy we wzorze podstawić oprocentowanie po podatku.

Jeżeli na przykład oprocentowanie lokaty podawane przez bank wynosi 4%, to jej efektywne oprocentowanie, którego musisz użyć we wzorze wyniesie:

4% x (1-19%) = 3,24%

Jeżeli kapitalizacja odsetek jest w okresach krótszych, niż okres trwania lokaty, np. lokata dwuletnia z kapitalizacją roczną, to nie możesz policzyć osobno odsetek przed opodatkowaniem a następnie odjąć skalkulowanego od całej kwoty podatku. Wynika to z faktu, że podatek jest odprowadzany w momencie kapitalizacji odsetek. Zatem po roku, nie będą reinwestowane całe odsetki, lecz odsetki pomniejszone o odprowadzony podatek.

W takim przypadku wyliczenia dla poszczególnych Przykładów wyglądałyby następująco:

Przykład 1

100 zł x [1+5% x (1-19%)] = 104,05 zł

Przykład 2

100 zł x [1+5% x (1-19%)]2 = 108,26 zł

I dla Przykładu 3:

100 zł x [1+5%/4 x (1-19%)]8 = 108,39 zł

Zatem kapitalizacja kwartalna powoduje z jednej strony podwyższenie opłacalności lokaty, ale siła tego podwyższenia jest regularnie osłabiana przez pobór podatku od każdych naliczonych i reinwestowanych odsetek.

Moc regularnego oszczędzania

Na koniec krótki przykład, który pokaże ci jak wielką moc ma regularne oszczędzanie, nawet niewielkich kwot.

Przykład 4

Załóżmy, że postanawiasz oszczędzać 200 zł miesięcznie i lokować je na 4% rocznie, przy założeniu kapitalizacji miesięcznej (rzadko obecnie spotykana opcja, ale pozwoli nam uprościć obliczenia w przykładzie).

Jak dużo uda ci się uzbierać po 5, 10 i 20 latach?

Obliczenia krok po kroku

Zacznijmy od przykładu 5 letniego w którym przez 60 miesięcy (5 lat x 12 miesięcy) będziesz regularnie oszczędzać i lokować:

Gdyby nie lokować oszczędności to wyniosłyby one po prostu 60 x 200 zł = 12 000 zł. To już całkiem konkretna kwota, prawda?

A co się stanie jeżeli dołożymy do tego oprocentowanie z lokaty?

Pierwsza odłożona kwota 200 zł będzie leżała na lokacie przez 59 miesięcy (zakładam że lokujesz ją na końcu pierwszego miesiąca oszczędzania). Jej wartość zatem po 59 miesiącach wzrosłaby do kwoty:

200 zł x (1+3,24%/12)59 = 234,49 zł

Być może zdziwi cię dlaczego jako oprocentowanie wstawiam 3,24% a nie 4%. Jak wspomniałem wcześniej, jeżeli chcesz uzyskać wynik „na rękę”, lub inaczej z uwzględnieniem potrącanego przez bank podatku od odsetek, to musisz oprocentowanie nominalne podane przez bank przeliczyć na oprocentowanie po podatku, co wyglądałoby tak:

4% x (1-19%) = 3,24%.

Aby uzyskać prawidłowy wynik, podobną kalkulację należałoby przeprowadzić dla wszystkich 60 transz lokowanych oszczędności. Jeżeli chcesz zobaczyć jak by to wyglądało, wykonałem taką symulację w załączonym Excelu dla okresów 5, 10 i 20 lat. Możesz podejrzeć jak powinno to wyglądać.

Można obliczyć to szybciej

Jest jednak sposób, aby wyliczyć to dużo szybciej korzystając z tzw. wzoru na rentę. Nie jest on zbyt skomplikowany, więc pozwolę sobie go tutaj przytoczyć:

Wartość oszczędności = KO x [(1+r)n-1] / r, gdzie:

KO – miesięczna kwota oszczędności

r – miesięczna stopa procentowa (jeżeli okresem kapitalizacji jest miesiąc)

n – ilość miesięcy oszczędzania.

Podstawiając nasz liczby, wygląda to tak:

r = 3,24% / 12 = 0,27%. Taką stopę muszę podstawić do wzoru (miesięczną).

Dla okresu 5 lat: Wartość oszczędności = 200 zł x [(1+0,27%)60 -1] / 0,27% = 13.007,67 zł.

Dla okresu 10 lat: Wartość oszczędności = 200 zł x [(1+0,27%)120 -1] / 0,27% = 28.299,54 zł.

Dla okresu 20 lat:  Wartość oszczędności = 200 zł x [(1+0,27%)240 -1] / 0,27% = 67.410,74 zł.

Jak widzisz jedyną zmianą jest wykładnik potęgi, jakiego używam dla poszczególnych okresów.

Oszczędzanie 200 zł miesięcznie w dłuższej perspektywie umożliwi zgromadzenie całkiem konkretnych kwot.

Przykład 5

Używając tego samego wzoru możesz również wyliczyć, ile miesięcznie musisz odkładać, aby np. po 20 latach zgromadzić 100.000 zł.

Wystarczy oczekiwaną kwotę podzielić przez współczynnik renty, czyli element: [(1+r)n-1] / r.

A zatem do dzieła. Wyliczamy wartość współczynnika renty dla okresu 20 letniego i miesięcznej stopy takiej, jak w poprzednim przykładzie (0,27%):

[(1+0,27%)240 -1] / 0,27% = 337,05

A teraz wyliczymy kwotę miesięcznych oszczędności, która przy comiesięcznym lokowaniu da nam kwotę 100.000 zł po 20 latach:

100.000 zł / 337,05 = 296,69 zł.

W Excelu znajdziesz ten przykład rozpisany miesiąc po miesiącu, możesz upewnić się, że wzór faktycznie działa.

Podsumowanie

Myślę, że taka dawka wiedzy będzie wystarczająca, abyś mógł swobodnie poruszać się w świecie lokat i prostych inwestycji. Jak widzisz regularne odkładanie nawet stosunkowo niewielkich kwot co miesiąc, w dłuższej perspektywie jest w stanie zgromadzić spory kapitał, który dodatkowo pomnażany, nawet w tak prosty sposób jak lokata bankowa, może zapewnić ci niezbędne oszczędności lub sfinansować kolejną, większą i bardziej opłacalną inwestycję.

Lokaty nie są może zbyt atrakcyjną inwestycją, szczególnie gdy weźmiesz pod uwagę podatek od odsetek, od którego nie ma ucieczki. Niemniej, są jednym z najprostszych narzędzi oszczędzania i zabezpieczenia (przynajmniej częściowo) zgromadzonych oszczędności przed inflacja.

Jak zawsze zachęcam do komentowania i zadawania pytań pod artykułem.

Dziękuję ci za lekturę,

M

Total
4
Shares
4 Shares:
Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

You May Also Like